Question

（09年東城區(qū)期末理）(14分)

已知點(diǎn)(N)順次為直線上的點(diǎn),點(diǎn)(N)順次為軸上的點(diǎn),其中,對任意的N,點(diǎn)、、構(gòu)成以為頂點(diǎn)的等腰三角形.

(Ⅰ)證明:數(shù)列是等差數(shù)列;

(Ⅱ)求證:對任意的N,是常數(shù),并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

  (Ⅲ)在上述等腰三角形中是否存在直角三角形,若存在,求出此時(shí)的值;若不存在,請說明理由.

Answer 1

解析：(Ⅰ)依題意有,于是.

所以數(shù)列是等差數(shù)列.                      ………………….4分

(Ⅱ)由題意得,即 , ()         ①

所以又有.                        ②    ………6分

由②①得,

可知都是等差數(shù)列.那么得

,

.    (       

故                            …………10分

(Ⅲ)當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,所以

當(dāng)為偶數(shù)時(shí),所以  

作軸,垂足為則,要使等腰三角形為直角三角形,必須且只需.                 

當(dāng)為奇數(shù)時(shí),有,即 .             ①

當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng), ①式無解.

當(dāng)為偶數(shù)時(shí),有,同理可求得.      

綜上所述,上述等腰三角形中存在直角三角形,此時(shí)的值為或

或.                                     ……………………..14分