Question

 

如圖，在直三棱柱中，，，是的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：∥平面；   （Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）（理科）試問(wèn)線段上是否存在點(diǎn)，使與成 角？若存在，確定點(diǎn)位置，若不存在，說(shuō)明理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

（Ⅰ）證明：連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)．

由 是直三棱柱，

得 四邊形為矩形，為的中點(diǎn)．

又為中點(diǎn)，所以為中位線，

所以 ∥，

因?yàn)?平面，平面，

所以 ∥平面．   ………………4分

（Ⅱ）解：由是直三棱柱，且，故兩兩垂直．

如圖建立空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，則．

所以 ，

    設(shè)平面的法向量為，則有

所以  取，得．

易知平面的法向量為．

由二面角是銳角，得 ．     ………………8分

所以二面角的余弦值為．

（Ⅲ）解：假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012040912520459371212/SYS201204091253125781627527_DA.files/image033.gif">在線段上，，，故可設(shè)，其中．

所以 ，．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012040912520459371212/SYS201204091253125781627527_DA.files/image041.gif">與成角，所以．

即，解得，舍去．

所以當(dāng)點(diǎn)為線段中點(diǎn)時(shí)，與成角．        ………………12分