Question

已知a₁=3，a₂=6，a_n+2=a_n+1-a_n，則a₄₀=

-3

．

Answer 1

分析：自然想法令n=1，2，3，…逐步求得a₃，a₄，a₅，…a₄₀，可求得結(jié)果，如此反復(fù)運(yùn)算中應(yīng)具有某種變化規(guī)律，會(huì)使題目的立意更高，因此應(yīng)適當(dāng)考慮數(shù)列的周期性．

解答：解：∵a₁=3，a₂=6，a_n+2=a_n+1-a_n，
∴令n=1得a₃=a₂-a₁=3
令n=2得a₄=a₃-a₂=-3
令n=3得a₅=a₄-a₃=-6
令n=4得a₆=a₅-a₄=-3
令n=5得a₇=a₆-a₅=3=a₁
令n=6得a₈=a₇-a₆=6=a₂，
…
從第六項(xiàng)起，項(xiàng)值依次輪流重復(fù)出現(xiàn)，周期為6
所以a₄₀=a_6×6+4=a₄=-3
故答案為：-3

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，求某項(xiàng)的值，在計(jì)算過(guò)程中，得出周期為6是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．