Question

已知函數(shù)f(x)＝(x≠－1)，設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁＝1，a_n+1＝f(a_n)，數(shù)列{b_n}滿足b_n＝|a_n－3|，S_n＝b₁＋b₂＋…＋b_n(n∈N₊)

(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明b_n≤；

(2)求證：S_n＜．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝1＋≥1， 　　因?yàn)閍1＝1，所以an≥1(n∈N+) 　　下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式bn≤： 　�、佼�(dāng)n＝1時(shí)，b1＝－1，不等式成立． 　�、诩僭O(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，不等式成立，即bn≤， 　　那么bk+1＝|ak+1－|＝． 　　所以，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立． 　　由①②可知不等式對任意n∈N+都成立． 　　(2)由(1)知bn≤， 　　所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn≤(－1)＋＝(－1)×＜(－1)×． 　　故對任意n∈N+，Sn＜．