Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（

6

2

，

2

），且點(diǎn)F（0，-1）為其一個(gè)焦點(diǎn)．   
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓E與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A₁，A₂，不在y軸上的動(dòng)點(diǎn)P在直線y=b²上運(yùn)動(dòng)，直線PA₁，PA₂分別與橢圓E交于點(diǎn)M，N，證明：直線MN通過一個(gè)定點(diǎn)，且△FMN的周長為定值．

Answer 1

（Ⅰ）根據(jù)題意可得

3 2a2 + 2 b2 =1 b2-a2=1

可解得

a= 3 b=2

∴橢圓E的方程為

x2

3

+

y2

4

=1…（4分）
（Ⅱ）不妨設(shè)A₁（0，2），A₂（0，-2）
P（x₀，4）為直線y=4上一點(diǎn)（x₀≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
直線PA₁方程為y=

2

x0

x+2，直線PA₂方程為y=

6

x0

x-2
點(diǎn)M（x₁，y₁），A₁（0，2）的坐標(biāo)滿足方程組

x2 3 + y2 4 =1 y= 2 x0 x+2

可得

x1= -6x0 3+x0 y1= 2x 20 -6 3+x0

點(diǎn)N（x₂，y₂），A₂（0，-2）的坐標(biāo)滿足方程組

x2 3 + y2 4 =1 y= 6 x0 x-2

    可得

x2= 18x0 27+ x 20 y2= -2 x 20 +54 27+ x 20

由于橢圓關(guān)于y軸對稱，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在直線y=4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線MN通過的定點(diǎn)必在y軸上，
當(dāng)x₀=1時(shí)，直線MN的方程為y+1=

4

3

(x+

3

2

)，令x=0，得y=1可猜測定點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1），并記這個(gè)定點(diǎn)為B
則直線BM的斜率k_BM=

y1-1

x1

=

2 x 20 -6 3+ x 20 -1

-6x0 3+ x 20

=

9- x 20

6x0

直線BN的斜率k_BN=

y2-1

x2

=

-2 x 20 +54 27+ x 20 -1

18x0 27+ x 20

=

9- x 20

6x0

∴k_BM=k_BN，即M，B，N三點(diǎn)共線，故直線MN通過一個(gè)定點(diǎn)B（0，1），
又∵F（0，-1），B（0，1）是橢圓E的焦點(diǎn)，
∴△FMN周長=|FM|+|MB|+|BN|+|NF|=4b=8．