Question

已知x=1是函數(shù)g（x）=1-alnx-x的唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（ ）
A．[0，+∞）
B．[0，+∞）∪{-1}
C．[-1，0]
D．（-∞，-1]

Answer 1

【答案】分析：通過(guò)分類討論a得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出a的取值范圍．
解答：解：∵x=1是函數(shù)g（x）=1-alnx-x的唯一零點(diǎn)，可知函數(shù)g（x）在（0，+∞）上具有單調(diào)性．
又．（x＞0）
①當(dāng)a≥0時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）具有單調(diào)性，因此a的值適合；
②當(dāng)a＜0時(shí)，令=0，則x=-a．
當(dāng)0＜x＜-a時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)-a＜x時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減法．
∴函數(shù)g（x）在x=-a時(shí)取得極大值也即最大值，
由題意x=1是函數(shù)g（x）=1-alnx-x的唯一零點(diǎn)，必須g（-a）=0，即-a=1，解得a=-1．
綜上可知：實(shí)數(shù)a的取值范圍是{-1}∪[0，+∞）．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系是解題關(guān)鍵．