Question

在下列函數(shù)中：①y=

x2+2

x2+1

；②y=x+

4

x

-2；③y=

x

+

4

x

-2；④y=|x+

1

x

|；⑤y=log2x+logx2其中x＞0且x≠1；⑥y=3^x+3^-x．其中最小值為2的函數(shù)是

①③④⑥

（填入序號）．

Answer 1

分析：①y=

x2+2

x2+1

=

x2+1

+

1

x2+1

≥2，可判斷
②y=x+

4

x

-2，當x＜0時，y=x+

4

x

-2=-[(-x)+(-

4

x

)]-2≤-2

(-x)•(- 4 x

)-2可判斷
③由基本不等式可得，y=

x

+

4

x

-2≥2

x • 4 x

-2=2，可判斷
④y=|x+

1

x

|=|x|+|

1

x

|≥2可判斷
⑤當log₂x＜0時，y=log2x+logx2≤-2可判斷
⑥y=3^x+3^-x≥2

3x•3-x

=2當且僅當3^x=3^-x即x=0時取等號可判斷

解答：解：①∵y=

x2+2

x2+1

=

x2+1

+

1

x2+1

≥2，當且僅當x=0時取等號，故①正確
②y=x+

4

x

-2，當x＜0時，y=x+

4

x

-2=-[(-x)+(-

4

x

)]-2≤-2

(-x)•(- 4 x

)-2=-6，故②錯誤
③由基本不等式可得，y=

x

+

4

x

-2≥2

x • 4 x

-2=2，③正確
④y=|x+

1

x

|=|x|+|

1

x

|≥2；④正確
⑤當log₂x＜0時，y=log2x+logx2≤-2；⑤錯誤
⑥y=3^x+3^-x≥2

3x•3-x

=2當且僅當3^x=3^-x即x=0時取等號，⑥正確
故答案為：①③④⑥

點評：本題主要考查了基本不等式在求解函數(shù)的最值中的應用，解題的關鍵是基本不等式的應用條件的判斷