Question

已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F在x正半軸上，傾斜角為銳角的直線l過F點(diǎn)．設(shè)直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線交于M點(diǎn)，=λ，其中λ＞0
（I）若λ=1，求直線l的斜率；
（II）若點(diǎn)A、B在x軸上的射影分別為A₁、B₁，且||，||，2||成等差數(shù)列，求λ的值．

Answer 1

解：依題意設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l的斜率為k，k＞0，M的縱坐標(biāo)為y₀，
則F（，0），準(zhǔn)線方程為x=-，直線l的方程為y=k（x-），M（-，y₀），y₂＞0
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/29872.png' />=λ，所以（p，-y₀）=λ（x₂-，y₀），故p=λ（x₂-）
（I）若λ=1，由p=λ（x₂-），y₂²=2px₂，y₂＞0，得x₂=，y₂=p，
故點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）
所以直線l的斜率k== （5分）
（II）聯(lián)立y²=2px，y=k（x-），消去y，可得k²x²-（k²p+2p）x+=0，則x₁x₂=
又 （7分）
故 （9分）
因?yàn)閨|，||，2||成等差數(shù)列，
所以||+2||=2||，
故（x₂-）+2（-x₁）=p，即x₂-2x₁=
將，代入上式得
因?yàn)棣耍?，所以λ=2． （12分）
分析：（I）先確定p=λ（x₂-），進(jìn)而求出B的坐標(biāo)，即可求直線l的斜率；
（II）直線方程代入拋物線方程，求得A₁、B₁的橫坐標(biāo)，根據(jù)||，||，2||成等差數(shù)列，可得||+2||=2||，從而可得x₂-2x₁=，由此可求λ的值．
點(diǎn)評：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．