Question

已知函數(shù)f（x）=[ax²-（3+2a）x+a]•e^x+1，a≠0．
（1）若x=-1是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍．
（2）若不等式f′（x）＞（x²+x-a）•e^x+1對(duì)任意a∈（0，+∞）都成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．
（3）記函數(shù)g（x）=f（x）+（2a+6）•e^x+1，若g（x）在區(qū)間[2，4]上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，利用x=-1是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，可得

a＜0 a+3 a ＜-1

或

a＞0 a+3 a ＞-1

，從而求出參數(shù)的范圍；（2）問(wèn)題等價(jià)于（x²+1）a-x²-4x-3＞0對(duì)任意a∈（0，+∞）都成立，從而解不等式可得；（3）g（x）在區(qū)間[2，4]上不單調(diào)?ax²-3x+a+3=0在x∈（2，4）上有解且△≠0，從而可解．

解答：解：（1）

f′(x)=(ax2-3x-a-3)ex+1 =[ax-(a+3)][x+1]ex+1=0

x1=-1，x2=

a+3

a

，
若x=-1是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，∴

a＜0 a+3 a ＜-1

或

a＞0 a+3 a ＞-1

，
解得，-

3

2

＜a＜0或a＞0（6分）
（2）f′（x）＞（x²+x-a）•e^x+1?（x²+1）a-x²-4x-3＞0對(duì)任意a∈（0，+∞）都成立，
∴-x²-4x-3≥0?-3≤x≤-1（10分）
（3）g（x）=f（x）+（2a+6）•e^x+1=[ax²-（3+2a）x+3a+6]•e^x+1
g′（x）=（ax²-3x+a+3）•e^x+1
g（x）在區(qū)間[2，4]上不單調(diào)?ax²-3x+a+3=0在x∈（2，4）上有解且△≠0
變量分離得，a=

3x-3

x2+1

令t(x)=

3x-3

x2+1

(x∈(2，4))，
求得t（x）的值域?yàn)?span id="ng228z3" class="MathJye">(

9

17

，

3( 2 -1)

2

)
∴

9

17

＜a＜

3( 2 -1)

2

（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，解決函數(shù)在區(qū)間上的不單調(diào)問(wèn)題，通常轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上有解且△≠0