Question

（1）已知等差數(shù)列{a_n}，bn=

a1+a2+a3+…+an

n

（n∈N^*），求證：{b_n}仍為等差數(shù)列；
（2）已知等比數(shù)列{c_n}，c_n＞0（n∈N^*）），類比上述性質(zhì)，寫出一個真命題并加以證明．

Answer 1

分析：（1）由求和公式可得b_n=

n(a1+an) 2

n

=

a1+an

2

，進(jìn)而可得b_n+1-b_n為常數(shù)，可判為等差數(shù)列；
（2）類比命題：若{c_n}為等比數(shù)列，c_n＞0，（n∈N^*），d_n=

n	c1•c2…cn

，則{d_n}為等比數(shù)列，只需證明

dn+1

dn

為常數(shù)即可．

解答：解：（1）由題意可知b_n=

n(a1+an) 2

n

=

a1+an

2

，
∴b_n+1-b_n=

a1+an+1

2

-

a1+an

2

=

an+1-an

2

，
∵{a_n}等差數(shù)列，∴b_n+1-b_n=

an+1-an

2

=

d

2

為常數(shù)，（d為公差）
∴{b_n}仍為等差數(shù)列；
（2）類比命題：若{c_n}為等比數(shù)列，c_n＞0，（n∈N^*），
d_n=

n	c1•c2…cn

，則{d_n}為等比數(shù)列，
證明：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：d_n=

n	(c1cn) n 2

=

c1cn

，
故

dn+1

dn

=

cn+1 cn

=

q

為常數(shù)，（q為公比）
故{d_n}為等比數(shù)列

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的定義，涉及類比推理和等比數(shù)列的定義，屬中檔題．