Question

已知點(diǎn)M（3，1），圓（x-1）²+（y-2）²=4．
（1）求過M點(diǎn)的圓的切線方程；
（2）若直線ax-y+4=0與圓相交于A、B兩點(diǎn)，且弦AB的長為2

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由圓的方程找出圓心坐標(biāo)與半徑，分兩種情況考慮：若切線方程斜率不存在，直線x=3滿足題意；若斜率存在，設(shè)出切線方程，根據(jù)直線與圓相切時(shí)圓心到切線的距離d=r，求出k的值，綜上即可確定出滿足題意的切線方程；
（2）由AB弦長，以及圓的半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式，根據(jù)垂徑定理及勾股定理列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．

解答：解：（1）由圓的方程得到圓心（1，2），半徑r=2，
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，方程x=3與圓相切；
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y-1=k（x-3），即kx-y+1-3k=0，
由題意得：

|k-2+1-3k|

k2+1

=2，
解得：k=

3

4

，
∴方程為y-1=

3

4

（x-3），即3x-4y-5=0，
則過點(diǎn)M的切線方程為x=3或3x-4y-5=0；
（2）∵圓心到直線ax-y+4=0的距離d=

|a+2|

a2+1

，
∴（

|a+2|

a2+1

）²+（

2 3

2

）²=4，
解得：a=-

3

4

．

點(diǎn)評：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識有：點(diǎn)到直線的距離公式，垂徑定理，勾股定理，以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用了分類討論的思想，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．