Question

設(shè)函數(shù)f(x)=a(x+

1

x

)+2lnx，g(x)=x2．
（I）若a＞0且a≠2，直線l與函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）的圖象相切于一點(diǎn)，求切線l的方程．
（II）若f（x）在[2，4]內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）求出其導(dǎo)函數(shù)，把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)中即可表示出切線的斜率，兩次求出的斜率相等列出關(guān)于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)x的方程，求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)得出的切點(diǎn)坐標(biāo)，同時(shí)由f（x）求出其導(dǎo)函數(shù)，把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)中即可表示出切線的斜率，根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)和切線過原點(diǎn)寫出切線方程即可．
（Ⅱ）通過解f′（x），求其單調(diào)區(qū)間，轉(zhuǎn)化為恒成立問題求a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f′(x)=a(1-

1

x2

)+

2

x

=

ax2+2x-a

x2

，∴g'（x）=2x
因?yàn)橹本�l與函f（x），g（x）的圖象相切于同一點(diǎn)

ax2+2x-a

x2

=2x（4分）
解得x=1，x=

a

2

（a≠2），（x=-1舍去）f'（1）=2，f（1）=2a；
f′(

a

2

)=a，f(

a

2

)=

a2

4

g'（1）=2，g（1）=1；g′(

a

2

)=a，g(

a

2

)=

a2

4

①當(dāng)x=1時(shí)，則l的方程為：y=2x-1
②當(dāng)x=

a

2

時(shí)，又因?yàn)辄c(diǎn)（

a

2

，

a2

4

)也在f（x）
有a(

a

2

+

2

a

)+2ln

a

2

=

a2

4

即ln

a

2

+

a2

8

+1=0
令h(x)=ln

a

2

+

a2

8

+1，h(

2

e2

)•h(2e2)＜0
易得方程在a＞0且a≠2一定有解
所以l的方程為y=ax-

a2

4

(a＞0，a≠2)
綜上所述直線l的方程為y=2x-1或y=ax-

a2

4

(a＞0，a≠2)（6分）
（Ⅱ）∵f′(x)=a(1-

1

x2

)+

2

x

=

ax2+2x-a

x2

要使f（x）在[2，4]為單調(diào)增函數(shù)，在[2，4]恒成立，
即

ax2+2x-a

x2

≥0在[2，4]恒成立，即ax²+2x-a≥0在[2，4]恒成立，
又a（x²-1）≥-2x即a≥

2x

1-x2

=

2

1 x -x

（2≤x≤4）（8分）
設(shè)u(x)=

1

x

-x（2≤x≤4），因?yàn)?span id="0zdyg0x" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">u′(x)=-

1

x2

-1（x＞0）所以u(píng)（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
∴f′（x）-

8

15

≥

2x

1-x2

=

2

1 x -x

≥-

4

3

所以當(dāng)a≥-

8

15

時(shí)在[2，4]為單調(diào)增函數(shù)；（10分）
同理要為單調(diào)減函數(shù)，在[2，4]恒成立，
易得a≤-

4

3

，綜上，f（x）在[2，4]為單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍為a≤-

4

3

或a≥-

8

15

（12分）

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于已知函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)范圍問題的常見解法；設(shè)函數(shù)f（x）在（a，b）上可導(dǎo)，若f（x）在（a，b）上是增函數(shù)，則可得f′（x）≥0，從而建立了關(guān)于待求參數(shù)的不等式，同理，若f（x）在（a，b）上是減函數(shù)，，則可得f′（x）≤0．