Question

數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_na_n+1a_n+2（n∈N*），數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
（1）若數(shù)列{a_n}的公差d等于首項(xiàng)a₁，試用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于任意n∈N*，都有S_n=；
（2）若數(shù)列{a_n}滿足：3a₅=8a₁₂＞0，試問n為何值時(shí)，S_n取得最大值？并說明理由．

Answer 1

解：（1）證明：當(dāng)n=1時(shí)，S₁=b₁，==b₁，原式成立．（1分）
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，S_k=成立，（2分）
則S_k+1=S_k+b_k+1=（4分）
====（6分）
所以n=k+1時(shí)，等式仍然成立，故對(duì)于任意n∈N*，都有S_n=；（8分）
（2）因?yàn)?a₅=8a₁₂＞0，所以3a₅=8（a₅+7d），a₅=-＞0，所以d＜0
又a₁₆=a₅+11d=-＞0，a₁₇=a₅+12d=＜0，（11分）
所以a₁＞a₂＞a₃＞…＞a₁₆＞0＞a₁₇＞a₁₈，b₁＞b₂＞b₃＞…＞b₁₄＞0＞b₁₇＞b₁₈，
因?yàn)閎₁₅=a₁₅a₁₆a₁₇＜0，b₁₆=a₁₆a₁₇a₁₈＞0，（13分）
a₁₅=a₅+10d=-＞0，a₁₈=a₅+13d=＜0，
所以a₁₅＜-a₁₈，所以b₁₅＞-b₁₆，b₁₅+b₁₆＞0，（15分）
故S₁₆＞S₁₄，所以S_n中S₁₆最大．（16分）
分析：（1）當(dāng)n=1時(shí)，S₁=b₁，==b₁，原式成立．假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，S_k=成立，由此證明n=k+1時(shí)，等式仍然成立．
（2）由3a₅=8a₁₂＞0，知3a₅=8（a₅+7d），a₅=-＞0，所以d＜0．由a₁₆=a₅+11d=-＞0，a₁₇=a₅+12d=＜0，知a₁＞a₂＞a₃＞…＞a₁₆＞0＞a₁₇＞a₁₈，b₁＞b₂＞b₃＞…＞b₁₄＞0＞b₁₇＞b₁₈，由此能夠推導(dǎo)出S_n中S₁₆最大．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列和函數(shù)的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)列歸納法的合理運(yùn)用，恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．