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        1. (2013•臨沂三模)已知直線l:y=x+
          6
          ,圓O:x2+y2=5,橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          的離心率e=
          3
          3
          ,直線l被圓O截得的弦長與橢圓的短軸長相等.
          (Ⅰ)求橢圓C的方程;
          (Ⅱ)過橢圓右焦點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn).
          (1)若
          AF
          =2
          FB
          求直線l的方程;
          (2)若動(dòng)點(diǎn)P滿足
          OP
          =
          OA
          +
          OB
          ,問動(dòng)點(diǎn)P的軌跡能否與橢圓C存在公共點(diǎn)?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
          分析:(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為c,由點(diǎn)到直線的距離公式可得圓心O到直線l的距離為d=
          3
          ,利用勾股定理可求得b值,根據(jù)b值,
          c
          a
          =
          3
          3
          ,a2=b2+c2可求得a;
          (Ⅱ)(1)易判斷l(xiāng)斜率不為0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由
          AF
          =2
          FB
          ,可得y1=-2y2①,設(shè)直線l:x=my+1,代入橢圓消掉x得y的二次方程,由韋達(dá)定理及①可用m表示y1,y2,代入y1y2=
          -4
          2m2+3
          ,得-
          8m
          2m2+3
          ×
          4m
          2m2+3
          =-
          4
          2m2+3
          ,解出m,從而得到直線l的方程;(2)問題等價(jià)于在橢圓上是否存在點(diǎn)P,使得
          OP
          =
          OA
          +
          OB
          成立.易判斷直線斜率不為0,設(shè)直線l的方程為x=my+1,由(1)的設(shè)法可得P(x1+x2,y1+y2),若點(diǎn)P在橢圓C上,可得
          x12+2x1x2+x22
          3
          +
          y12+2y1y2+y22
          2
          =1
          ,再由點(diǎn)A,B在橢圓上,可得2x1x2+3y1y2+3=0②,代入韋達(dá)定理可得m的方程,解出m,進(jìn)而可求出點(diǎn)P的坐標(biāo),得到結(jié)論;
          解答:解:(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為c,圓心O到直線l的距離為d=
          6
          1+1
          =
          3
          ,
          b=
          5-3
          =
          2
          .由題意得  
          c
          a
          =
          3
          3
          a2=b2+c2
          b=
          2
          ,解得a2=3,b2=2.
          故橢圓C的方程為
          x2
          3
          +
          y2
          2
          =1

          (Ⅱ)(1)當(dāng)直線l的斜率為0時(shí),檢驗(yàn)知
          AF
          ≠2
          FB

          設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
          AF
          =2
          FB
          ,得(1-x1,-y1)=2(x2-1,y2),則有y1=-2y2①,
          設(shè)直線l:x=my+1,聯(lián)立
          x=my+1
          x2
          3
          +
          y2
          2
          =1
          消去x,整理得(2m2+3)y2+4my-4=0.
          y1+y2=-
          4m
          2m2+3
          y1y2=
          -4
          2m2+3

          結(jié)合①,得y1=-
          8m
          2m2+3
          ,y2=
          4m
          2m2+3

          代入y1y2=
          -4
          2m2+3
          ,得-
          8m
          2m2+3
          ×
          4m
          2m2+3
          =-
          4
          2m2+3
          ,即
          8m2
          2m2+3
          =1
          ,解得m=±
          2
          2
          ,
          故直線l的方程是x=±
          2
          2
          y+1

          (2)問題等價(jià)于在橢圓上是否存在點(diǎn)P,使得
          OP
          =
          OA
          +
          OB
          成立.
          當(dāng)直線l的斜率為0時(shí),可以驗(yàn)證不存在這樣的點(diǎn),故設(shè)直線l的方程為x=my+1,
          用(1)的設(shè)法,可得P(x1+x2,y1+y2).
          若點(diǎn)P在橢圓C上,則
          (x1+x2)2
          3
          +
          (y1+y2)2
          2
          =1
          ,即
          x12+2x1x2+x22
          3
          +
          y12+2y1y2+y22
          2
          =1

          又點(diǎn)A,B在橢圓上,有
          x12
          3
          +
          y12
          2
          =1,
          x22
          3
          +
          y22
          2
          =1
          ,
          2
          3
          x1x2+y1y2+1=0
          ,即2x1x2+3y1y2+3=0②,
          由(1)知x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1=-
          8m2
          2m2+3
          +1
          ,
          代入②式得-
          16m2
          2m2+3
          +2-
          12
          2m2+3
          +3=0
          ,解得m2=
          1
          2
          ,即m=±
          2
          2

          當(dāng)m=
          2
          2
          時(shí),y1+y2=-
          4m
          2m2+3
          =-
          2
          2
          x1+x2=m(y1+y2)+2=-
          1
          2
          +2=
          3
          2
          ;
          當(dāng)m=-
          2
          2
          時(shí),y1+y2=-
          4m
          2m2+3
          =
          2
          2
          ,x1+x2=m(y1+y2)+2=-
          1
          2
          +2=
          3
          2

          故橢圓C上存在點(diǎn)P(
          3
          2
          ,±
          2
          2
          )
          ,使得
          OP
          =
          OA
          +
          OB
          成立,即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡與橢圓C存在公共點(diǎn),公共點(diǎn)的坐標(biāo)是(
          3
          2
          ,±
          2
          2
          )
          點(diǎn)評(píng):本題考查直線方程、橢圓方程及性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、平面向量等知識(shí),考查學(xué)生分析解決問題的能力,綜合性強(qiáng),能力要求較高.
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          2
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          .
          x
          1
          ,
          .
          x
          2
          分別表示甲乙兩名運(yùn)動(dòng)員這項(xiàng)測試成績的平均數(shù),s1,s2分別表示甲乙兩名運(yùn)動(dòng)員這項(xiàng)測試成績的標(biāo)準(zhǔn)差,則有( 。

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