Question

【題目】如圖，點(diǎn)M，N分別為正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱AA1，BB1的中點(diǎn)，以正方體的六個(gè)面的中心為頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)八面體，若平面D1MNC1將該八面體分割成上、下兩部分的體積分別為V1、V2，則（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

如圖，先作出平面截八面體的截面為，建立空間直角坐標(biāo)系，用點(diǎn)到平面的距離為向量在法向量上的投影的長(zhǎng)，再計(jì)算兩部分的體積，得到體積之比,得到答案.

正方體的六個(gè)面的中心為頂點(diǎn)構(gòu)成的八面體中中間和上方的頂點(diǎn)分別為

如圖，分別過(guò)作側(cè)棱的平行線,
分別 交于點(diǎn)，分別交于點(diǎn),得到矩形.

由題意有為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).

在矩形中,分別交于點(diǎn)，則分別為的中點(diǎn),

平面,所以，平面.

將平面延展與交于點(diǎn). 所以平面截八面體的截面為.

顯然與相交于的中點(diǎn),設(shè)為.則三點(diǎn)共線.

在中,過(guò)作，如圖，可得為的一個(gè)三等分點(diǎn).

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則.

以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系

P（-1，0，0），R（1，0，0），Q（0，-1，0），

設(shè)平面的法向量為.

則，即 ，取 則

則點(diǎn)到平面的距離為向量在法向量上的投影的長(zhǎng).

所以

又

所以八面體在平面平面下方的部分的體積為

所以

故選：A