Question

已知a為實數(shù)，數(shù)列{a_n}滿足a₁=a，當n≥2時，，
（Ⅰ）當a=100，時，求數(shù)列{a_n}的前100項的和S₁₀₀；
（Ⅱ）證明：對于數(shù)列{a_n}，一定存在k∈N^*，使0＜a_k≤3；
（Ⅲ）令，當2＜a＜3時，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）當a=100時，由題意知數(shù)列{a_n}的前34項成首項為100，公差為-3的等差數(shù)列，從第35項開始，奇數(shù)項均為3，偶數(shù)項均為1，由此能求出S₁₀₀．
（Ⅱ）當0＜a₁≤3時，題意成立．當a₁＞3時，a_n=a₁-3（n-1）．設a₁∈（3k，3k+3]，（k≥1，k∈N^*），則當n=k+1時，a_k+1=a₁-3k∈（0，3]．命題成立．當a₁≤0時，a₂=4-a₁＞3，命題成立．由此能夠證明原命題成立．
（Ⅲ）當2＜a＜3時，由，知=．因為b_n＞0，所以只要證明當n≥3時不等式成立即可．由此能夠證明＜．
解答：解：（Ⅰ）a=100時，
∵a₁=100，當n≥2時，，
∵a₁=100，a₂=97，…，a₃₃=4，a₃₄=1，a₃₅=3，a₃₆=1，a₃₇=3，…，a₁₀₀=1，
∴a=100時，
數(shù)列{a_n}的前34項成首項為100，公差為-3的等差數(shù)列，
從第35項開始，奇數(shù)項均為3，偶數(shù)項均為1，
從而S₁₀₀=…（3分）
=．…（5分）
（Ⅱ）證明：①若0＜a₁≤3，則題意成立…（6分）
②若a₁＞3，此時數(shù)列{a_n}的前若干項滿足a_n-a_n-1=3，
即a_n=a₁-3（n-1）．
設a₁∈（3k，3k+3]，（k≥1，k∈N^*），
則當n=k+1時，a_k+1=a₁-3k∈（0，3]．
從而此時命題成立…（8分）
③若a₁≤0，由題意得a₂=4-a₁＞3，
則由②的結(jié)論知此時命題也成立．
綜上所述，原命題成立…（10分）
（Ⅲ）當2＜a＜3時，
因為，
所以=．…（11分）
因為b_n＞0，
所以只要證明當n≥3時不等式成立即可．
而…（13分）
①當n=2k（k∈N^*，且k≥2）時，

=
=
=．…（15分）
②當n=2k-1（k∈N^*且k≥2）時，
由于b_n＞0，所以＜．
綜上所述，原不等式成立…（16分）
點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．