Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，M，N是對角線AC₁上的兩點(diǎn)，動點(diǎn)P在正方體表面上且滿足|PM|=|PN|，則動點(diǎn)P的軌跡長度的最大值為（　�。�

• A．3
• B．3

  2

• C．3

  3

• D．6

Answer 1

分析：根據(jù)滿足PM=PN這個(gè)條件可以看出點(diǎn)P是在垂直于AC₁且過線段MN中點(diǎn)的一個(gè)平面a上的，而題目中又說P在正方體表面上，所以P點(diǎn)的軌跡便是平面a與正方體各表面的交線所組成的一個(gè)由折線段構(gòu)成的軌跡．假象有一個(gè)平面從A點(diǎn)開始切割（該平面垂直AC₁），開始得到的圖形是三角形，且三角形的周長慢慢變長，直到切割到A₁點(diǎn)，利用運(yùn)動變化的思想研究整個(gè)過程可得出動點(diǎn)P的軌跡長度的最大值．

解答：解：滿足PM=PN這個(gè)條件可以看出點(diǎn)P是在垂直于AC₁且過線段MN中點(diǎn)的一個(gè)平面a上的，又說P在正方體表面上，
∴P點(diǎn)的軌跡便是平面a與正方體各表面的交線所組成的一個(gè)由折線段構(gòu)成的軌跡．
也就是垂直于正方體體對角線的平面與正方體表面相交的交線構(gòu)成的哪個(gè)圖形的周長最大．
假象有一個(gè)平面從A點(diǎn)開始切割（該平面垂直AC₁），開始得到的圖形是三角形，且三角形的周長慢慢變長，直到切割到A₁點(diǎn)，
這個(gè)切割圖形為三角形A₁BD，此時(shí)是當(dāng)切割圖形是三角形時(shí)的周長最大值，為3

2

．
之后的切割圖形變?yōu)榱�邊形，�?jīng)計(jì)算得出當(dāng)切割圖形為六邊形時(shí)圖形的周長恒定還是為3

2

，
之后切割圖形又為三角形，周長開始從3

2

遞減趨向于零，
直至切割到C₁點(diǎn)切割結(jié)束．
根據(jù)整個(gè)過程來說可以得出P點(diǎn)的最大長度為3

2

．
故選B．

點(diǎn)評：本題考查立體幾何中的軌跡問題，考查學(xué)生的分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是確定滿足|PM|=|PN|的點(diǎn)P所構(gòu)成的軌跡．