Question

【題目】在四棱錐中， ， ， ， ， ， ，且平面．

（1）設(shè)平面平面，求證： ．

（2）求證： ．

（3）設(shè)點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】試題分析：（1）利用平行四邊形的性質(zhì)和平行線的傳遞性即可找出兩個(gè)平面的交線并且證明結(jié)論；（2）利用已知條件結(jié)合勾股定理先證明，再利用線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理即可證明；（3）通過(guò)結(jié)論空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用法向量與斜線所成的角即可找出點(diǎn)的位置.

試題解析：（1）如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，并且取，連接，
∴四邊形為平行四邊形，∴，
∵，∴，即為平面平面， ．
（2）在和中，由勾股定理可得， ，∵，∴，∴， ，∴，∴，即；∵底面，∴，∵，∴平面，故.
（3）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則， ， ， ， ，∴，設(shè)，則，∴， ，由（2）可知為平面的法向量，∴，∵直線與平面所成角的正弦值為，∴，化為，解得，∴.