Question

（2011•湖北模擬）已知函數(shù)f （x）=（

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）^x-log₂x，正實(shí)數(shù)a，b，c是公差為負(fù)數(shù)的等差數(shù)列，且滿足f（a）f（b）f（c）＜0，若實(shí)數(shù)d是方程f （x）=0的一個(gè)解，那么下列四個(gè)判斷：①d＜a；②d＞b；③d＜c；④d＞c．其中有可能成立的個(gè)數(shù)為（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：f （x）=（

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）^x-log₂x是由y=(

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)x 和y=-log₂x兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，每個(gè)函數(shù)都是減函數(shù)，所以，復(fù)合函數(shù)f （x）=（

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）^x-log₂x為減函數(shù)．正實(shí)數(shù)a，b，c是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，0＜c＜b＜a，f（a）f（b）f（c）＜0，則f（a）＜0，f（b）＜0，f（c）＜0，或者f（a）＜0，f（b）＞0，f（c）＞0，所以可能①②③④．

解答：解：f （x）=（

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）^x-log₂x是由y=(

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)x 和y=-log₂x兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，
每個(gè)函數(shù)都是減函數(shù)，
所以，復(fù)合函數(shù)f （x）=（

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）^x-log₂x為減函數(shù)．
∵正實(shí)數(shù)a，b，c是公差為負(fù)數(shù)的等差數(shù)列，
∴0＜c＜b＜a，
∵f（a）f（b）f（c）＜0，
則f（a）＜0，f（b）＜0，f（c）＜0，
或者f（a）＜0，f（b）＞0，f（c）＞0，
綜合以上兩種可能，
恒有 f（a）＜0．
∵實(shí)數(shù)d是方程f （x）=0的一個(gè)解，
∴f（d）=0，
∴f（a）＜f（d），∴a＞d，
而d與b，c的關(guān)系不確定，
∴①②③④均有可能成立．
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題考查指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意函數(shù)的單調(diào)性的靈活運(yùn)用．