Question

已知M，N分別在△ABC的邊AB和AC上，且

AM

=2

MB

，

AN

=

NC

，設(shè)

AB

=

a

，

AC

=

b

．
（1）若P為線段CM的中點(diǎn)，用

a

，

b

表示

AP

；
（2）設(shè)CM與BN交于點(diǎn)Q，求

|BQ|

|QN|

的值．

Answer 1

分析：（1）由M，N分別在△ABC的邊AB和AC上，P為線段CM的中點(diǎn)，且

AM

=2

MB

，

AN

=

NC

，我們易根據(jù)向量加法的三角形法則，用

a

，

b

表示

AP

；
（2）由

AB

=

a

，

AC

=

b

，我們易將向量

AP

，

AQ

，

AS

，用

a

，

b

表示，利用向量加減法的運(yùn)算法則，易得到

AP

+

AQ

+

AS

=

3

2

(

a

+

b

)．
（2）由于B，Q，N三點(diǎn)共線，根據(jù)共線向量基本定理得：存在實(shí)數(shù)λ使得

BQ

=λ

BN

=-λ

a

+

1

2

λ

b

，同理C，Q，M三點(diǎn)共線，存在實(shí)數(shù)m，n使得

BQ

=m

BM

+n

BC

，且m+n=1，綜合即得結(jié)論．

解答：解：（1）

AP

=

AC

+

CP

=

AC

+

1

2

CM

，
又∵

CM

=

AM

-

AC

=

2

3

AB

-

AC

，∴

AP

=

1

3

AB

+

1

2

AC

…．（3分）
（2）∵

AN

=

NC

，∴

AN

=

1

2

b

，

BN

=

BA

+

AN

=-

a

+

1

2

b

．
∵B，Q，N三點(diǎn)共線，
∴存在實(shí)數(shù)λ使得

BQ

=λ

BN

=-λ

a

+

1

2

λ

b

，①
∵

AM

=2

MB

，∴

BM

=-

1

3

a

，又

BC

=

b

-

a

∵C，Q，M三點(diǎn)共線，
∴存在實(shí)數(shù)m，n使得

BQ

=m

BM

+n

BC

，且m+n=1，
即

BQ

=-

m

3

a

+n(

b

-

a

)=-(

m

3

+n)

a

+n

b

，②
綜合①②，得

-λ=-( m 3 +n) 1 2 λ=n

，
又m+n=1，解得λ=

1

2

，∴

|BQ|

|QN|

=1…..（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義，利用向量加減法的三角形法則，及數(shù)乘向量運(yùn)算法則，將平面內(nèi)任一向量分解為用基底向量表示的形式，是解答本題的關(guān)鍵．