Question

（2012•遼寧）若x∈[0，+∞），則下列不等式恒成立的是（　�。�

• A．e^x≤1+x+x²
• B．

  1

  1+x

  ≤1-

  1

  2

  x+

  1

  4

  x2
• C．cosx≥1-

  1

  2

  x2
• D．ln(1+x)≥x-

  1

  8

  x2

Answer 1

分析：對于A，取x=3，e³＞1+3+3²，；
對于B，令x=1，

1

2

，計算可得結(jié)論；
對于C，構(gòu)造函數(shù)h(x)=cosx-1+

1

2

x2，h′（x）=-sinx+x，h″（x）=cosx+1≥0，從而可得函數(shù)h(x)=cosx-1+

1

2

x2在[0，+∞）上單調(diào)增，故成立；
對于D，取x=3，ln(1+3)＜3-

9

8

．

解答：解：對于A，取x=3，e³＞1+3+3²，所以不等式不恒成立；
對于B，x=1時，左邊=

2

2

，右邊=0.75，不等式成立；x=

1

2

時，左邊=

6

3

，右邊=

13

16

，左邊大于右邊，所以x∈[0，+∞），不等式不恒成立；
對于C，構(gòu)造函數(shù)h(x)=cosx-1+

1

2

x2，h′（x）=-sinx+x，h″（x）=cosx+1≥0，∴h′（x）在[0，+∞）上單調(diào)增
∴h′（x）≥h′（0）=0，∴函數(shù)h(x)=cosx-1+

1

2

x2在[0，+∞）上單調(diào)增，∴h（x）≥0，∴cosx≥1-

1

2

x2；
對于D，取x=3，ln(1+3)＜3-

9

8

，所以不等式不恒成立；
故選C．

點評：本題考查大小比較，考查構(gòu)造函數(shù)，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，確定函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．