Question

某工廠生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本（即固定投入）為0.5萬(wàn)元，但每生產(chǎn)一臺(tái)，需要增加可變成本（即另增加投入）0.25萬(wàn)元．市場(chǎng)對(duì)此產(chǎn)品的年需求量為500臺(tái)．銷售的收入函數(shù)為（萬(wàn)元），其中是產(chǎn)品售出的數(shù)量（單位：百臺(tái)）．
（１）  把利潤(rùn)表示為年產(chǎn)量的函數(shù)；
（２）  年產(chǎn)量是多少時(shí)，工廠所得利潤(rùn)最大？
（３）  年產(chǎn)量是多少時(shí)，工廠才不虧本？

Answer 1

（1）
（2）當(dāng)時(shí)，有最大值萬(wàn)元；
（3）當(dāng)年產(chǎn)量滿足，時(shí)，工廠不虧本

（１）利潤(rùn)

（２）若，則
，
所以，當(dāng)時(shí)，有最大值萬(wàn)元；
若，則是減函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，有最大值萬(wàn)元．
綜上可得，年產(chǎn)量為500臺(tái)時(shí)，工廠所得利潤(rùn)最大．
（３）當(dāng)時(shí)，由，
即，解得，；
當(dāng)時(shí)，，即，
解得．
綜上可得，當(dāng)年產(chǎn)量滿足，時(shí)，工廠不虧本．