Question

已知二次函數(shù)f(x)=ax²+bx+c滿足條件：

①0，1是f(x)=0的兩個(gè)零點(diǎn)；②f(x)的最小值為.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)積為T_n,且T_n=λ^f(n)(λ≠0,n∈N^*),求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)λ=時(shí),若5f(a_n)是b_n與a_n的等差中項(xiàng)，試問數(shù)列{b_n}中第幾項(xiàng)的值最��？并求出這個(gè)最小值.

Answer 1

解:(1)由題意知：

解得故f(x)=x²x.

(2)∵T_n=a₁a₂…a_n=，當(dāng)n≥2時(shí),T_n-1=a₁·a₂·…·a_n-1=，

∴a_n==λ^n-1(n≥2).

又a₁=T₁=1滿足上式,∴a_n=λ^n-1(n∈N^*).

當(dāng)λ=1時(shí),S_n=n,當(dāng)λ≠1且λ≠0時(shí),數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列,∴S_n=.

故數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=

(3)若5f(a_n)是b_n與a_n的等差中項(xiàng),則2×5f(a_n)=b_n+a_n,從而10(a_n²a_n)=b_n+a_n,

得b_n=5a_n²-6a_n=5(a_n)².

∵a_n=()^n-1(n∈N^*)是關(guān)于n的減函數(shù),

∴當(dāng)a_n≥,即n≤3(n∈N^*)時(shí),b_n隨n的增大而減小,此時(shí)最小值為b₃;

當(dāng)a_n＜,即n≥4(n∈N^*)時(shí),b_n隨n的增大而增大,此時(shí)最小值為b₄.

又|a₃|＜|a₄|,∴b₃＜b₄,即數(shù)列{b_n}中b₃最小,

且b₃=5［()²］²-6()²=.