Question

對函數(shù)y=f（x）（x₁≤x≤x₂），設點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是圖象上的兩端點，O為坐標原點，且點N滿足

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

，λ≥0，點M（x，y）在函數(shù)y=f（x）的圖象上，且x=λx₁+（1-λ）x₂，則稱|MN|的最大值為函數(shù)的“高度”，則函數(shù)f（x）=x²-2x-1在區(qū)間[-1，3]上的“高度”為

4

．

Answer 1

分析：利用向量共線即可得出點N的坐標及λ的取值范圍、利用兩點間的距離公式即可得出|MN|、再二次函數(shù)的單調性即可得出．

解答：解：由函數(shù)f（x）=x²-2x-1及區(qū)間[-1，3]可得區(qū)間端點A（-1，2），B（3，2）．
∴

ON

=λ(-1，2)+(1-λ)(3，2)=（3-4λ，2），∴N（3-4λ，2）；
∵點N滿足

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

，λ≥0，∴0≤λ≤1．
∴x_M=3-4λ，y_M=（3-4λ）²-2（3-4λ）-1=16λ²-16λ+2，
∴|MN|=

0+(16λ2-16λ)2

=|16λ²-16λ|=16|(λ-

1

2

)2-

1

4

|，
∵λ∈[0，1]，∴0≤(λ-

1

2

)2≤

1

4

，|(λ-

1

2

)2-

1

4

|∈[0，

1

4

]，
∴|MN|≤4．
∴函數(shù)f（x）=x²-2x-1在區(qū)間[-1，3]上的“高度”為4．
故答案為4．

點評：正確理解新定義、向量共線、二次函數(shù)的單調性是解題的關鍵．