Question

已知數(shù)列{a_n}中，S_n是{a_n}的前n項(xiàng)和，且S_n是2a與-2na_n的等差中項(xiàng)，其中a是不等于零的常數(shù)．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）猜想a_n的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)n=1，2，3，利用S_n=a-na_n，求出a₁，a₂，a₃的值即可．
（2）根據(jù)（1）數(shù)列前3項(xiàng)的數(shù)值特征，猜想a_n的表達(dá)式，利用數(shù)學(xué)歸納法加驗(yàn)證n=1時(shí)猜想成立，然后假設(shè)n=k時(shí)猜想成立，證明n=k+1時(shí)猜想也成立．

解答：解：（1）由題意S_n=a-na_n，…（1分）
當(dāng)n=1時(shí)，S₁=a₁=a-a₁，∴a1=

a

2

；            …（2分）
當(dāng)n=2時(shí)，S₂=a₁+a₂=a-2a₂，∴a2=

a

6

；      …（3分）
當(dāng)n=3時(shí)，S₃=a₁+a₂+a₃=a-3a₃，∴a3=

a

12

；  …（4分）
（2）猜想：an=

a

n(n+1)

(n∈N*)．…（6分）
證明：①當(dāng)n=1時(shí)，由（1）可知等式成立；             …（7分）
②假設(shè)n=k（k≥1，k∈N^*）時(shí)等式成立，即：ak=

a

k(k+1)

，…（8分）
則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=S_k+1-S_k=a-（k+1）a_k+1-（a-ka_k），
∴(k+2)ak+1=kak=

a

(k+1)

，∴ak+1=

a

(k+1)(k+2)

=

a

(k+1)[(k+1)+1]

，
即n=k+1時(shí)等式也成立．…（14分）
綜合①②知：an=

a

n(n+1)

對(duì)任意n∈N^*均成立．…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是數(shù)學(xué)歸納法，主要考查已知數(shù)列的遞推關(guān)系式，求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，猜想通項(xiàng)公式，利用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想成立，注意數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，必須用上假設(shè)．證明當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立，是解題的難點(diǎn)和關(guān)鍵．