Question

已知函數(shù)，且．（e是自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）求a與b的關(guān)系式；
（2）若f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意知，f（e）=ae﹣﹣2=be﹣﹣2，
∴（a﹣b）（e+）=0，∴a=b，
（2）由（1）知  f（x）=ax﹣﹣2lnx，
f'（x）=a+﹣=，
令 h（x）=ax²﹣2x+a，因為f（x）在其定義域（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，
∴在其定義域（0，+∞）內(nèi)，h（x）≥0或h（x）≤0恒成立．
①當a=0時，h（x）=﹣2x，
∵x＞0，∴h（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）在其定義域（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，
故a=0滿足條件．
②當a＞0時，h（x）圖象是開口向上的拋物線，對稱軸是x=，
h（x）的最小值是a﹣，只需 a﹣≥0，
∴a≥1，即a≥1時，f（x）在其定義域（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，
故a≥1滿足條件．
③當a＜0時，h（x）圖象是開口向下的拋物線，對稱軸是x=∈（0，+∞），
∴在（0，+∞）內(nèi)，h（x）≤0成立，
∴f（x）在其定義域（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)，
∴當a＜0時，滿足條件．
綜上可得，a的取值范圍是a≥1或a≤0．