Question

已知函數(shù)f(x)=sin(2x+

π

3

)
（1）求不等式f(x)≥-

3

2

的解集；
（2）若存在x0∈[0，

5π

12

]，使不等式f（x₀）＜m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由sin(2x+

π

3

)≥-

3

2

得到：-

π

3

+2kπ≤2x+

π

3

≤

4π

3

+2kπ，k∈Z，求得x的范圍，可得不等式的解集．
（2）當(dāng)x0∈[0，

5π

12

]時(shí)利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得f(x0)∈[-

1

2

，1]，則m＞f（x₀）_min，由此求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）由sin(2x+

π

3

)≥-

3

2

得到：-

π

3

+2kπ≤2x+

π

3

≤

4π

3

+2kπ，k∈Z，
解得：-

π

3

+kπ≤x≤

π

2

+kπ，k∈Z，故不等式的解集為{x|-

π

3

+kπ≤x≤

π

2

+kπ，k∈Z}．
（2）當(dāng)x0∈[0，

5π

12

]時(shí)，

π

3

≤2x0+

π

3

≤

7π

6

，則f(x0)∈[-

1

2

，1]．
因?yàn)榇嬖?span id="6udebzk" class="MathJye">x0∈[0，

5π

12

]，使不等式f（x₀）＜m成立，
則m＞f（x₀）_min，即 m＞-

1

2

，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|m＞-

1

2

}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．