Question

已知橢圓E的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₁作斜率為2的直線交橢圓E于P點，若△PF₁F₂為直角三角形，則橢圓E的離心率為

 

．

Answer 1

分析：①當PF₂⊥x軸時，可得P(c，

b2

a

)，由于直線的斜率為2，可得

b2 a

2c

=2，即可得出．
②當PF₁⊥PF₂時，設|PF₁|=m，|PF₂|=n，則

m+n=2a n m =2 m2+n2=4c2

即可得出．

解答：解：分類討論：①當PF₂⊥x軸時，可得P(c，

b2

a

)，
∵直線的斜率為2，
∴

b2 a

2c

=2，化為b²=4ac=a²-c²，
∴e²+4e-1=0，1＞e＞0，
解得e=

5

-2．
②當PF₁⊥PF₂時，設|PF₁|=m，|PF₂|=n，
則

m+n=2a n m =2 m2+n2=4c2

化為9c²=5a²，
解得e=

5

3

．
綜上可知：橢圓的離心率為

5

-2或

5

3

．
故答案為：

5

-2或

5

3

．

點評：本題考查了橢圓的定義與性質、分類討論、直角三角形的邊角關系等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．