Question

已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD，點E為AB中點，點F為PD中點．
（1）證明平面PED⊥平面PAB；
（2）求二面角P-AB-F的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）先由已知條件證明∴△ADB為等邊三角形，AB⊥DE，易證AB⊥PD，得到AB⊥面PED，進而證明面PED⊥面PAB．
（2）先由二面角的定義找出二面角的平面角，把二面角的平面角放在一個三角形中，求出此角的余弦值．

解答：（1）證明：連接BD．∵AB=AD，∠DAB=60°，∴△ADB為等邊三角形．
∵E是AB中點，∴AB⊥DE．（2分）∵PD⊥面ABCD，AB?面ABCD，∴AB⊥PD．
∵DE?面PED，PD?面PED，DE∩PD=D，∴AB⊥面PED． （4分）
∵AB?面PAB，∴面PED⊥面PAB．  （6分）

（2）解：∵AB⊥平面PED，PE?面PED，∴AB⊥PE．
連接EF，∵EF?PED，∴AB⊥EF．∴∠PEF為二面角P-AB-F的平面角．（9分）
設(shè)AD=2，那么PF=FD=1，DE=

3

．
在△PEF中，PE=

7

，EF=2，PF=1，
∴cos∠PEF=

( 7 )2+22-1

2×2 7

=

5 7

14

，
即二面角P-AB-F的平面角的余弦值為

5 7

14

.（12分）

點評：本小題主要考查空間中的線面關(guān)系，四棱錐的有關(guān)概念及余弦定理等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和推理能力．