Question

如圖，雙曲線

x2

3

-y2=1與拋物線x²=3（y+m）相交于A（x₁，y₁），B（-x₁，y₁），C（-x₂，y₂）D（x₂，y₂），（x₁＞0，x₂＞0），直線AC、BD的交點(diǎn)為P（0，p）．
（Ⅰ）試用m表示x₁x₂；
（Ⅱ）當(dāng)m變化時(shí)，求p的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)是下面方程組的解：

x2 3 -y2=1 x2=3(y+m)

，消掉x可得y的二次方程，此時(shí)有△＞0，而x可用y表示，從而用韋達(dá)定理可表示出x₁x₂；
（Ⅱ）由向量

PA

=（x₁，y₁-p）與

PC

=（-x₂，y₂-p）共線，得x₁（y₂-p）+x₂（y₁-p）=0，從而可用x₁，x₂表示出p，由（Ⅰ）的結(jié)論可把p用m表示出來，根據(jù)m的范圍可得p的范圍；

解答：解：（Ⅰ）依題意，A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)是下面方程組的解：

x2 3 -y2=1 x2=3(y+m)

消去x，得y²-y+1-m=0，
由△=1-4（1-m）＞0，得m＞

3

4

，且y₁+y₂=1，y₁y₂=1-m．
x₁x₂=

3(y1+m)

•

3(y2+m)

=3

y1y2+m(y1+y2)+m2

=3

1+m2

．    
（Ⅱ）由向量

PA

=（x₁，y₁-p）與

PC

=（-x₂，y₂-p）共線，
得x₁（y₂-p）+x₂（y₁-p）=0，
∴p=

x1y2+x2y1

x1+x2

=

x1( x22 3 -m)+x2( x12 3 -m)

x1+x2

=

x1x2

3

-m
=

1+m2

-m=

1

1+m2 +m

，
∵m＞

3

4

，∴0＜p＜

1

2

，
故p的取值范圍是(0，

1

2

)．

點(diǎn)評(píng)：涉及曲線的位置關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，消元后，應(yīng)用韋達(dá)定理，簡化運(yùn)算過程．本題（II）通過應(yīng)用平面向量共線的條件，建立了p，m的關(guān)系，利用函數(shù)的觀點(diǎn)，確定得到p的范圍．