Question

【題目】平行四邊形所在的平面與直角梯形所在的平面垂直，，，且，，，為的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求證：；

（3）若直線上存在點(diǎn)，使得，所成角的余弦值為，求與平面所成角的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）

【解析】

(1)取的中點(diǎn)或取中點(diǎn),利用證平行四邊形的方法再證明平面即可.

(2)根據(jù)勾股定理與余弦定理證明,再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得出平面即可證明.

(3) 以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè),再利用空間向量求解關(guān)于線面角的問題即可.

（1）解法1：取的中點(diǎn),連結(jié),,,

在直角梯形中,,,

所以四邊形為平行四邊形,

所以,

在中,,

所以,

又因?yàn)?/span>,

所以平面平面,

又平面,

所以平面.

解法2：取中點(diǎn),連結(jié),,

在中,,,

所以,且,

又,,

所以,,

所以四邊形為平行四邊形,

所以,

因?yàn)?/span>平面,平面,

所以平面.

（2）在中,,,

所以,

所以,

所以,

又平面平面,平面平面,平面,

所以平面,

因?yàn)?/span>平面,

所以.

（3）由（1）（2）以為原點(diǎn),以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系.

所以,,,,,

所以,

所以,,,

設(shè),

所以,

所以,

所以,

所以,

所以,

設(shè)平面的法向量為,

所以,

所以令,則,

如與平面成的角為,

所以.

所以,即與面成的角為.