Question

過(guò)點(diǎn)P（1，1）作直線(xiàn)l，使得它被橢圓

x2

9

+

y2

4

=1所截出的弦的中點(diǎn)恰為P，則直線(xiàn)l的方程為

 

．

Answer 1

分析：設(shè)出過(guò)P點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方程作差，再結(jié)合F點(diǎn)是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，即可求出直線(xiàn)的斜率，即可得到直線(xiàn)方程．

解答：解：設(shè)過(guò)P點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于B、C兩點(diǎn)，B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）
則有4x₁²+9y₁²=36，4x₂²+9y₂²=36，
兩式相減得：4（x₁+x₂）（ x₁-x₂）+9（y₁+y₂）（ y₁-y₂）=0
因?yàn)镻點(diǎn)是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，所以x₁+x₂=2，y₁+y₂=2
代入得：k_BC=

y1-y2

x1-x2

=-

4

9

所以l的方程為y-1=-

4

9

（x-1），即4x+9y-13=0．
故答案為：4x+9y-13=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系．解決本題的關(guān)鍵在于設(shè)出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方程作差，再結(jié)合F點(diǎn)是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)即可求出直線(xiàn)的斜率．這也是解決此類(lèi)問(wèn)題的常用方法．