Question

一個(gè)直角三角形三邊的長成等比數(shù)列，則（ ）
A．三邊邊長之比為3：4：5
B．三邊邊長之比為1：：3
C．較小銳角的正弦為
D．較大銳角的正弦為

Answer 1

【答案】分析：由直角三角形的三邊成等比數(shù)列，公比為q，設(shè)三角形三邊分別為a，aq，aq²，根據(jù)勾股定理列出關(guān)系式，根據(jù)a大于0，化簡可得關(guān)于q的方程，求出方程的解即可得到q的值，可求出三角形三邊之比，對選項(xiàng)A和B進(jìn)行判斷；由三角形最大角為直角，設(shè)最小角為α，由最短的邊為a，最長的邊為aq²，利用正弦定理表示出sinα，將q²的值代入即可求出sinα的值，作出判斷；又三角形最大角為直角，其正弦值為1，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．進(jìn)而得到正確的選項(xiàng)．
解答：解：設(shè)直角三角形較短的直角邊為a（a＞0），公比為q，
由題意得：其它兩邊分別為aq，aq²，
根據(jù)勾股定理得：a²+（aq）²=（aq²）²，
整理得：q⁴-q²-1=0，
解得：q²=或q²=（舍去），
則q²的值為，
∴三邊長之比為a：aq：aq²=1：q：q²=1：：，
故選項(xiàng)A和B錯(cuò)誤；
設(shè)最小內(nèi)角為α，
根據(jù)正弦定理得：=，即sinα===，
則較小銳角的正弦值為，故選項(xiàng)C正確，
又最大角為直角，其正弦值為1，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，
故選C
點(diǎn)評：此題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，勾股定理，正弦定理，特殊角的三角函數(shù)值，以及一元二次方程的解法，熟練掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．