Question

已知鈍角△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且有(

2

a-c)cosB=bcosC，
（1）求角B的大�。�
（2）設向量

m

=(cos2A+1，cosA)，

n

=(1，-

8

5

)，且

m

⊥

n

，求tan(

π

4

+A)的值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理把題設等式中的邊轉換成角的正弦，然后利用兩角和公式化簡整理求得cosB的值，進而求得B．
（2）利用向量垂直的性質利用向量的坐標求得cos2A+1-

8

5

cosA=0，利用二倍角公式整理成關于cosA的一元二次方程求得cosA的值，利用同角三角函數的基本關系求得tanA的值，然后利用正切的兩角和公式求得tan（A+

π

4

）的值．

解答：解：（1）∵(

2

a-c)cosB=bcosC，
由正弦定理得：(

2

sinA-sinC)cosB=sinBcosC
∴

2

sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC即

2

sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB
∴

2

sinAcosB=sin(B+C)
因為在△ABC中sin（B+C）=sinA則

2

sinAcosB=sinA
∴cosB=

2

2

，B=

π

4

（2）∵

m

⊥

n

∴

m

•

n

=0即cos2A+1-

8

5

cosA=0
∴2cos2A-

8

5

cosA=0即2cosA(cosA-

4

5

)=0
∵cosA≠0∴cosA=

4

5

由sin²A+cos²A=1，sinA＞0
∴sinA=

3

5

，tanA=

3

4

則tan(A+

π

4

)=

1+tanA

1-tanA

=

1+ 3 4

1- 3 4

=7

點評：本題主要考查了正弦定理的應用，二倍角兩角和公式的化簡求值，同角三角函數的基本關系的應用．綜合考查了學生對三角函數基礎知識的掌握．