Question

已知雙曲線G的中心在原點，它的漸近線與圓x²+y²-10x+20=0相切．過點P（-4，0）作斜率為的直線l，使得l和G交于A，B兩點，和y軸交于點C，并且點P在線段AB上，又滿足|PA|•|PB|=|PC|²．
（1）求雙曲線G的漸近線的方程；
（2）求雙曲線G的方程；
（3）橢圓S的中心在原點，它的短軸是G的實軸．如果S中垂直于l的平行弦的中點的軌跡恰好是G的漸近線截在S內(nèi)的部分，求橢圓S的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用直線與圓相切時對應(yīng)的圓心到直線的距離等于半徑即可求雙曲線G的漸近線的方程；
（2）利用漸近線設(shè)出雙曲線G的方程，把直線l的方程與雙曲線G的方程聯(lián)立求出A，B兩點的坐標之間的關(guān)系式，再利用|PA|•|PB|=|PC|²．即可求出雙曲線G的方程；
（3）利用條件先設(shè)橢圓S的方程+=1（a＞2），再設(shè)垂直于l的平行弦的兩端點以及中點的坐標，把兩端點坐標代入橢圓S的方程方程，用點差法求出中點所在軌跡，再與題中條件相結(jié)合即可求橢圓S的方程．
解答：解：（1）設(shè)雙曲線G的漸近線的方程為y=kx，
則由漸近線與圓x²+y²-10x+20=0相切可得=，
所以k=±，即雙曲線G的漸近線的方程為y=±x．（3分）
（2）由（1）可設(shè)雙曲線G的方程為x²-4y²=m，
把直線l的方程y=（x+4）代入雙曲線方程，
整理得3x²-8x-16-4m=0，
則x_A+x_B=，x_Ax_B=-．（*）
∵|PA|•|PB|=|PC|²，P、A、B、C共線且P在線段AB上，
∴（x_P-x_A）（x_B-x_P）=（x_P-x_C）²，即（x_B+4）（-4-x_A）=16，
整理得4（x_A+x_B）+x_Ax_B+32=0．
將（*）代入上式得m=28，
∴雙曲線的方程為-=1．（8分）
（3）由題可設(shè)橢圓S的方程為+=1（a＞2），
設(shè)垂直于l的平行弦的兩端點分別為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點為P（x，y），
則+=1，+=1，
兩式作差得+=0．
由于=-4，x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
所以-=0，
所以，垂直于l的平行弦中點的軌跡為直線-=0截在橢圓S內(nèi)的部分．
又由已知，這個軌跡恰好是G的漸近線截在S內(nèi)的部分，所以=，即a²=56，
故橢圓S的方程為+=1．（13分）
點評：本題涉及到雙曲線標準方程的求法問題．因為雙曲線的標準方程有兩種形式，所以在設(shè)方程之前一定要先看焦點所在位置．