Question

已知，為橢圓的左右頂點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；

（Ⅱ）過點(diǎn)的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為（不同于，），與橢圓在點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)．當(dāng)直線繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，試判斷以為直徑的圓與直線的位置關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意可設(shè)橢圓的方程為，半焦距為，

因?yàn)?sub>、為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，

所以， ．

又因?yàn)?sub>，所以．

故橢圓的方程為，離心率為．……5分

（Ⅱ）以為直徑的圓與直線相切. 證明如下：

由題意可設(shè)直線的方程為，

則點(diǎn)坐標(biāo)為，中點(diǎn)的坐標(biāo)為．

由得．

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則．

所以，．

因?yàn)辄c(diǎn)坐標(biāo)為，

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

直線軸，此時(shí)以為直徑的圓與直線相切．

當(dāng)時(shí)，則直線的斜率.

所以直線的方程為．

點(diǎn)到直線的距離．

又因?yàn)?sub> 所以．

故以為直徑的圓與直線相切．

綜上得，當(dāng)直線繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，以為直徑的圓與直線相切．………14分