Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)的連線構(gòu)成等邊三角形，兩準(zhǔn)線之間的距離為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，.已知.

①求的值；

②當(dāng)的面積最大時(shí)，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②.

【解析】

（1）設(shè)橢圓的焦距為，則.利用短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)的連線構(gòu)成等邊三角形，求出，，然后求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）①設(shè)，，，，聯(lián)立利用韋達(dá)定理，通過直線的斜率求解即可；②由①得，直線的方程為，然后求解弦長，點(diǎn)到直線的距離，求解三角形的面積，然后求解即可.

解：（1）設(shè)橢圓的焦距為，則.

因?yàn)槎梯S的兩個(gè)頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)的連線構(gòu)成等邊三角形，

所以.

又兩準(zhǔn)線間的距離為，則，

所以，，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）①設(shè)，，，，

聯(lián)立消去得，

，化簡得，

所以，，

又的斜率，的斜率，

所以，

化簡得，

所以.又因?yàn)?/span>，即，

又，所以.

②由①得，直線的方程為，

且，，.

又，所以.

所以

，

點(diǎn)到直線的距離，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的面積最大，

所以，直線的方程為.