Question

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC．
（1）求角B的大��；
（2）已知函數(shù)y=cos²

A

2

+sin²

C

2

-1，求y的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，cosB=

1

2

，根據(jù)0＜B＜π，可得 B=

π

3

．
（2）化簡函數(shù)y=

3

2

cos（

π

6

+A），根據(jù) 0＜A＜

2π

3

，可得

π

6

＜（

π

6

+A）＜

5π

6

，從而求得cos（

π

6

+A） 的范圍，
即可求得y的范圍．

解答：解：（1）由（2a-c）cosB=bcosC，得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA．
∵0＜A＜π，∴sinA≠0，∴cosB=

1

2

，∵0＜B＜π，∴B=

π

3

．
（2）∵B=

π

3

，∴A+C=

2π

3

，∴函數(shù)y=cos²

A

2

+sin²

C

2

-1=

1cosA

2

+ 

1-cosC

2

-1 
=

1

2

[cosA-cos（

2π

3

-A）]=

1

2

 （

3

2

cosA-

3

2

sinA）=

3

2

cos（

π

6

+A）．
∵0＜A＜

2π

3

，∴

π

6

＜（

π

6

+A）＜

5π

6

，-

1

2

＜cos（

π

6

+A）＜

3

2

，
∴-

3

4

＜y＜

3

4

．

點評：本題考查正弦定理的應(yīng)用，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，余弦汗水due值域，化簡函數(shù)y=

3

2

cos（

π

6

+A），是解題的
關(guān)鍵．