Question

（本小題滿(mǎn)分9分）平行四邊形ABCD中，AB=2，AD=，且，以BD為折線(xiàn)，把折起，使平面，連AC.

（Ⅰ）求證：       （Ⅱ）求二面角B-AC-D平面角的大小；

（Ⅲ）求四面體ABCD外接球的體積.

 

Answer 1

【答案】

（1）見(jiàn)解析；（2）二面角B-AC-D的大小是；（3） .

【解析】(I)通過(guò)證明即可.

(II)由于本題容易建系所以可以通過(guò)向量法求解二面角,先求出二面角二個(gè)面的法向量,然后根據(jù)法向量的夾角與二面角相等或互補(bǔ)求二面角.

(III)解本小題的關(guān)鍵是確定球心位置在AD的中點(diǎn).

解：在中，

，     易得，

面面    面              …3分

在四面體ABCD中，以D為原點(diǎn)，DB為軸，DC為軸，過(guò)D垂直于平面BDC的射線(xiàn)為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.

z

則D（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A（2，0，2）

（2）設(shè)平面ABC的法向量為，而，

由得：，取 .

再設(shè)平面DAC的法向量為，而，

由得：，取，

所以，所以二面角B-AC-D的大小是      …7分

（3）由于均為直角三角形，故四面體ABCD的外接球球心在AD中點(diǎn)，

又，所以球半徑，得 .     …9分