Question

已知函數(shù)f（x）的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞），對定義域內(nèi)的任意m，n都有f（m•n）=f（m）+f（n），且當(dāng)x＞1時f（x）＞0，f（2）=2，
（1）求證：f（x）是偶函數(shù)；
（2）求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（3）解不等式f（2x-1）＜4．

Answer 1

分析：（1）令m=n=1可求得f（1），令m=n=-1可求f（-1），在f（m•n）=f（m）+f（n）中，令n=-1，可得結(jié)論；
（2）設(shè)0＜x₁＜x₂，f（x₂）-f（x₁）=f（x₁•

x2

x1

）-f（x₁），
依據(jù)f（m•n）=f（m）+f（n）及x＞1時f（x）＞0，可得f（x₂）-f（x₁）的符號，從而得證；
（3）由（1），（2）及已知f（2）=2，f（2x-1）＜4?f（|2x-1|）＜f（4）?0＜|2x-1|＜4，從而可解．

解答：（1）證明：因為對定義域內(nèi)的任意m，n都有f（m•n）=f（m）+f（n），
所以，令m=n=1，則f（1）=f（1）+f（1），即f（1）=0；
令m=n=-1，則f（1）=f（-1）+f（-1），即0=2f（-1），所以f（-1）=0．
對定義域內(nèi)的任意m，取n=-1，有f（-m）=f（m）+f（-1），即f（-m）=f（m），
所以f（x）是偶函數(shù)．
（2）證明：設(shè)0＜x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=f（x₁•

x2

x1

）-f（x₁）=f（x₁）+f（

x2

x1

）-f（x₁）=f（

x2

x1

），
因為當(dāng)x＞1時f（x）＞0，且

x2

x1

＞1，所以f（

x2

x1

）＞0，
即f（x₂）-f（x₁）＞0，f（x₂）＞f（x₁）．
所以f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（3）解：由f（2）=2，得4=f（2）+f（2）=f（2•2）=f（4），
由（1），（2）得，f（2x-1）＜4?f（|2x-1|）＜f（4）?0＜|2x-1|＜4，
解得-

3

2

＜x＜

5

2

，且x≠

1

2

．
所以不等式的解集為：{x|-

3

2

＜x＜

5

2

，且x≠

1

2

}．

點評：本題考查抽象函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及其應(yīng)用，定義是解決該類題目的基本方法．