Question

已知函數(shù)f（x）=x²-4x+a+3，a∈R．
（Ⅰ）若函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）在[-1，1]上存在零點(diǎn)，求a的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)g（x）=bx+5-2b，b∈R．當(dāng)a=0時(shí)，若對(duì)任意的x₁∈[1，4]，總存在x₂∈[1，4]，使得f（x₁）=g（x₂），求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程無(wú)實(shí)數(shù)根，利用△＜0列出不等關(guān)系式，求解即可得到a的取值范圍；
（Ⅱ）根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x=2，可以判斷出二次函數(shù)在去甲[-1，1]上的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理列出不等式組，求解即可得到a的取值范圍；
（Ⅲ）根據(jù)題意，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）的值域?yàn)楹瘮?shù)y=g（x）值域的子集，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得f（x）的值域，對(duì)于g（x），對(duì)其一次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行分類討論，分別得到g（x）的值域，分別求解，即可得到b的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)，
∴方程f（x）=0的判別式△＜0，
∴16-4（a+3）＜0，解得a＞1，
∴a的取值范圍為（1，+∞）；
（Ⅱ）∵f（x）=x²-4x+a+3的對(duì)稱軸是x=2，
∴y=f（x）在[-1，1]上是減函數(shù)，
∵y=f（x）在[-1，1]上存在零點(diǎn)，
∴必有：

f(1)≤0 f(-1)≥0

，即

a≤0 a+8≥0

，
解得：-8≤a≤0，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為-8≤a≤0；               
（Ⅲ）若對(duì)任意的x₁∈[1，4]，總存在x₂∈[1，4]，使f（x₁）=g（x₂），
只需函數(shù)y=f（x）的值域?yàn)楹瘮?shù)y=g（x）值域的子集．
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x²-4x+3的對(duì)稱軸是x=2，∴y=f（x）的值域?yàn)閇-1，3]，
下面求g（x）=bx+5-2b，x∈[1，4]的值域，
①當(dāng)b=0時(shí)，g（x）=5，不合題意，舍
②當(dāng)b＞0時(shí)，g（x）=bx+5-2b的值域?yàn)閇5-b，5+2b]，只需要

5-b≤-1 5+2b≥3

，解得b≥6
③當(dāng)b＜0時(shí)，g（x）=bx+5-2b的值域?yàn)閇5+2b，5-b]，只需要

5+2b≤-1 5-b≥3

，解得b≤-3
綜上：實(shí)數(shù)b的取值范圍b≥6或b≤-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，函數(shù)的零點(diǎn)等價(jià)于對(duì)應(yīng)方程的根，等價(jià)于函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，解題時(shí)要注意根據(jù)題意合理的選擇轉(zhuǎn)化．考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的零點(diǎn)與最值問(wèn)題，對(duì)于二次函數(shù)要注意數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，注意抓住二次函數(shù)的開(kāi)口方向，對(duì)稱軸，以及判別式的考慮．本題運(yùn)用了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．屬于中檔題．