Question

已知函數(shù)f(x2-1)=logm

x2

2-x2

(m＞0，m≠1)．
（1）試判斷f（x）的奇偶性；
（2）解關于x的方程f(x)=logm

1

x

．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數(shù)f(x2-1)=logm

x2

2-x2

（m＞0且m≠1），令t=x²-1，利用換元法，易求出f（x）的表達式，進而根據(jù)使函數(shù)解析式有意義的原則，構造關于x的不等式，解不等式即可求出函數(shù)的定義域，判斷f（-x）與f（x）的關系，然后根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，即可判斷出函數(shù)的奇偶性；
（2）由（1）得出函數(shù)f（x）的解析式，再將所要求解的對數(shù)方程去掉對數(shù)符號，轉化成關于x的分式方程求解即得．

解答：解：（1）令t=x²-1（t≥-1）
則x²=t+1
∵f(x2-1)=logm

x2

2-x2

∴f(t)=logm

t+1

2-(t+1)

=logm

1+t

1-t

∴f(x)=logm

1+x

1-x

要使函數(shù)的解析式有意義，自變量x須滿足：-1＜x＜1
故函數(shù)f（x）的定義域為（-1，1）
又∵f(-x)=logm

1-x

1+x

=-f（x）
故函數(shù)為奇函數(shù)
（2）由（1）得：
f(x)=logm

1+x

1-x

，
故原方程化為：logm

1+x

1-x

=logm

1

x

，
得：

1+x

1-x

=

1

x

，
解得：x=-1+

2

，或x=-1-

2

（負值舍去）
故方程的解是x=

2

-1．

點評：本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)圖象與性質的綜合應用，函數(shù)的解析式，函數(shù)的定義域，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性判斷及其證明，反函數(shù)，是函數(shù)問題比較綜合的考查，有一定的難度，其中熟練掌握指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質是解答本題的關鍵．