Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和s_n=n²，數(shù)列{b_n}中b₁=2，b_n=2b_n-1（n≥2）
（1）求a_n，b_n；（2）若cn=

an，n為奇數(shù) bn，n為偶數(shù)

，求{C_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知 an=

S1=1                 (n=1) Sn-Sn-1=2n-1 (n≥2)

，然后根據(jù)b_n=2b_n-1（n≥2），由此可知b_n為等比數(shù)列，可求出所求．
（2）討論n的奇偶分別進行求和，當(dāng)n為偶數(shù)時，利用分組求和法進行求和，當(dāng)n為奇函數(shù)時，則n-1為偶數(shù)，根據(jù)T_n=T_n-1+a_n進行求解即可．

解答：解：（1）an=

S1=1                 (n=1) Sn-Sn-1=2n-1 (n≥2)

（2分）
當(dāng)n=1時，2n-1=1，所以a_n=2n-1（n≥1）（3分）
∵b_n=2b_n-1 n≥2（4分）
∴b_n成等比數(shù)列，且首項b₁=2，公比q=2（5分）
∴b_n=2•2^n-1，∴b_n=2ⁿ（6分）
（2）當(dāng)n為偶數(shù)時
T_n=[1+5+…（2n-3）]+（2²+2⁴+…+2ⁿ）=

n2-n

2

+

4(2n-1)

3

當(dāng)n為奇函數(shù)時，則n-1為偶數(shù)
T_n=T_n-1+a_n=

(n-1)2-(n-1)

2

+

4(2n-1-1)

3

+2n-1
=

n2+n

2

+

4(2n-1-1)

3

綜上，T_n=

n2+n 2 + 4(2n-1-1) 3 ，(n為奇函數(shù)) n2-n 2 + 4(2n-1) 3 ，(n為偶函數(shù))

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法和數(shù)列求和，解題時要注意公式的靈活運用，特別是分類討論思想的合理運用，屬于中檔題．