Question

已知函數(shù)f（x）=（其中a為常數(shù)，x≠a）．利用函數(shù)y=f（x）構(gòu)造一個數(shù)列{x_n}，方法如下：
對于給定的定義域中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1），…
在上述構(gòu)造過程中，如果x_i（i=1，2，3，…）在定義域中，那么構(gòu)造數(shù)列的過程繼續(xù)下去；如果x_i不在定義域中，那么構(gòu)造數(shù)列的過程就停止．
（Ⅰ）當a=1且x₁=-1時，求數(shù)列{x_n}的通項公式；
（Ⅱ）如果可以用上述方法構(gòu)造出一個常數(shù)列，求a的取值范圍；
（Ⅲ）是否存在實數(shù)a，使得取定義域中的任一實數(shù)值作為x₁，都可用上述方法構(gòu)造出一個無窮數(shù)列{x_n}？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）當a=1時，，所以，．兩邊取倒數(shù)，得，由等差數(shù)列定義求解．
（Ⅱ）構(gòu)造出一個常數(shù)列，即：當x≠a時，方程f（x）=x有解，即方程x²+（1-a）x+1-a=0有不等于a的解．由△=（1-a）²-4（1-a）≥0求解．
（Ⅲ）用上述方法構(gòu)造出一個無窮數(shù)列{x_n}，即：=a在R中無解．即當x≠a時，方程（1+a）x=a²+a-1無實數(shù)解．則有求解，有解則存在，無解則不存在．
解答：解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=，
所以，x_n+1=．
兩邊取倒數(shù)，得-1，
即=-1．又=-1，
所以數(shù)列{}是首項為-1，公差d=-1的等差數(shù)列．（3分）
故=-1+（n-1）•（-1）=-n，
所以x_n=-，
即數(shù)列{x_n}的通項公式為x_n=-，n∈N^*．（4分）
（Ⅱ）根據(jù)題意，只需當x≠a時，方程f（x）=x有解，（5分）
即方程x²+（1-a）x+1-a=0有不等于a的解．
將x=a代入方程左邊，左邊為1，與右邊不相等．
故方程不可能有解x=a．（7分）
由△=（1-a）²-4（1-a）≥0，得a≤-3或a≥1．
即實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-3]∪[1，+∞）．（10分）
（Ⅲ）假設(shè)存在實數(shù)a，使得取定義域中的任一實數(shù)值作為x₁，都可以用上述方法構(gòu)造出一個無窮數(shù)列{x_n}，那么根據(jù)題意可知，=a在R中無解，（12分）
即當x≠a時，方程（1+a）x=a²+a-1無實數(shù)解．
由于x=a不是方程（1+a）x=a²+a-1的解，
所以對于任意x∈R，方程（1+a）x=a²+a-1無實數(shù)解，
因此解得a=-1．
故a=-1即為所求a的值．（14分）
點評：本題主要考查函數(shù)與數(shù)列的綜合運用，主要涉及了等差數(shù)列的定義，通項數(shù)列的存在性與方程有無根的關(guān)系．屬中檔題．