Question

【題目】函數(shù)f（x）=x2+ax+3，已知不等式f（x）＜0的解集為{x|1＜x＜3}．
（1）求a；
（2）若不等式f（x）≥m的解集是R，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）若f（x）≥nx對(duì)任意的實(shí)數(shù)x≥1成立，求實(shí)數(shù)n的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù)f（x）=x2+ax+3，

且f（x）＜0的解集為{x|1＜x＜3}，

∴a=﹣4

（2）解：由（1）得：f（x）=x2﹣4x+3，

∴f（x）=（x﹣2）2﹣1，

∴f（x）最小值為﹣1，

∴不等式f（x）≥m的解集為R，

實(shí)數(shù)m的取值范圍為m≤﹣1

（3）解：∵f（x）≥nx對(duì)任意的實(shí)數(shù)x≥1都成立，

即x2﹣4x+3≥nx對(duì)任意的實(shí)數(shù)x≥1都成立，

兩邊同時(shí)除以x得到：x+ ﹣4≥n對(duì)任意的實(shí)數(shù)x≥1都成立，

令g（x）=x+ ﹣4，x≥1，

g′（x）=1﹣ = ，

令g′（x）＞0，解得：x＞ ，令g′（x）＜0，解得：x＜ ，

故g（x）在[1， ）遞減，在（ ，+∞）遞增，

故g（x）min=g（ ）=﹣4+2 ，

故n≤g（x）min=﹣4+2

【解析】（1）根據(jù)二次函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系求出a的值即可；（2）求出函數(shù)的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）的最小值，從而求出m的范圍即可；（3）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x+ ﹣4≥n對(duì)任意的實(shí)數(shù)x≥1都成立，令g（x）=x+ ﹣4，x≥1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最小值，從而求出n的范圍即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了解一元二次不等式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握求一元二次不等式解集的步驟：一化：化二次項(xiàng)前的系數(shù)為正數(shù);二判：判斷對(duì)應(yīng)方程的根;三求：求對(duì)應(yīng)方程的根;四畫(huà)：畫(huà)出對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象;五解集：根據(jù)圖象寫(xiě)出不等式的解集;規(guī)律：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為正時(shí)，小于取中間，大于取兩邊才能正確解答此題．