Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+1）lnx-2x+2的定義域?yàn)閇1，+∞）．
（I）證明函數(shù)y=f（x）在其定義域上單調(diào)遞增；
（II）設(shè)0＜a＜b，求證：lnb-lna＞

2a(b-a)

a2+b2

．

Answer 1

分析：（I）由已知函數(shù)的解析式，及定義域，我們易求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的解析式，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，我們易判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而得到函數(shù)y=f（x）在其定義域上單調(diào)遞增；
（II）結(jié)合（I）的結(jié)論，及0＜a＜b，我們易得f(

b

a

)＞0恒成立，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及不等式的性質(zhì)，易得到結(jié)論．

解答：解：（I）證明：∵函數(shù)f（x）=（x²+1）lnx-2x+2的定義域?yàn)閇1，+∞）．
∴當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，f′（x）=2x•lnx+（x+

1

x

）-2≥0恒成立
故函數(shù)f（x）=（x²+1）lnx-2x+2在定義域[1，+∞）上單調(diào)遞增；
（II）由（I）知，?x∈[1，+∞）．
f（x）≥f（1）=0恒成立
又∵0＜a＜b，
∴

b

a

＞1
∴f(

b

a

)=[（

b

a

）²+1]ln

b

a

-2

b

a

+2＞0
即lnb-lna＞

2a(b-a)

a2+b2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，其中根據(jù)已知函數(shù)的解析式求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的解析式，并判定其符號(hào)進(jìn)而判斷函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的關(guān)鍵．