Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長、短軸端點(diǎn)分別為A、B，從橢圓上一點(diǎn)M（在x軸上方）向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點(diǎn)F₁，

AB

∥

OM

．
（1）求橢圓的離心率e；
（2）設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂分別是左、右焦點(diǎn)，求∠F₁QF₂的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）依題意，作圖如圖．由k_AB=k_OM可求得b=c，從而可求得橢圓的離心率．
（2）當(dāng)點(diǎn)Q與橢圓長軸的端點(diǎn)重合時(shí)，∠F₁QF₂的大小為零；當(dāng)點(diǎn)Q不與橢圓長軸的端點(diǎn)重合時(shí)，設(shè)∠F₁QF₂的大小為θ，在△F₁QF₂中，利用余弦定理，結(jié)合基本不等式和橢圓的定義，可以證出4a²-4c²≤2a²（1+cosθ），結(jié)合（1）a²=2c²，可以證出cosθ≥0，從而得到0＜θ≤

π

2

．最后綜合，得到θ∈[0，

π

2

]，即為∠F₁QF₂的取值范圍．

解答：解：依題意，作圖如圖：
（1）設(shè)F₁（-c，0），則x_M=-c，y_M=

b2

a

，
∴k_OM=-

b2

ac

．
∵k_AB=-

b

a

，

OM

∥

AB

，
∴-

b2

ac

=-

b

a

，
∴b=c，故e=

c

a

=

2

2

．
（1）設(shè)|F₁Q|=r₁，|F₂Q|=r₂，∠F₁QF₂=θ，
∴r₁+r₂=2a，|F₁F₂|=2c．
cos θ=

r12+ r 2 2 -4c2

2r1r2

=

(r1+r2)2-2r1r2-4c2

2r1r2

=

2b2

r1r2

-1≥

2b2

( r1+r2 2 )2

-1=0，
當(dāng)且僅當(dāng)r₁=r₂時(shí)，cos θ=0，
∴θ∈[0，

π

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，由k_AB=k_OM求得b=c是關(guān)鍵，考查理解與運(yùn)算能力，屬于中檔題．