Question

【題目】在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸正半軸（兩坐標(biāo)系取相同的單位長度）的直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為：為參數(shù)）．

（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程與曲線的普通方程；

（2）將曲線經(jīng)過伸縮變換后得到曲線，若，分別是曲線和曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）.．（2）．

【解析】

（1）的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為，由此能求出曲線的直角坐標(biāo)方程．由曲線的參數(shù)方程能求出曲線的普通方程．

（2）將曲線經(jīng)過伸縮變換：，得到的方程為，則曲線的參數(shù)方程為：，設(shè)，，由此能求出的最小值．

解：（1）的極坐標(biāo)方程是，

，

曲線的直角坐標(biāo)方程為．

曲線的參數(shù)方程為：為參數(shù)）．

曲線的普通方程為．

（2）將曲線經(jīng)過伸縮變換：，

得到的方程為，

則曲線的參數(shù)方程為：，

設(shè)，，

則點(diǎn)到曲線的距離為：

，

當(dāng)時(shí)，有最小值，

的最小值為．