Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,以兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形F₁B₁ F₂B₂是一個(gè)面積為8的正方形.

(1)求橢圓C的方程;
(2)已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(－4,0), 過(guò)P點(diǎn)的直線L與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn),當(dāng)線段MN的中點(diǎn)G落在正方形內(nèi)(包含邊界)時(shí),求直線L的斜率的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）

解析試題分析：（1）依題意需要求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，所以要找到兩個(gè)關(guān)于基本量的等式，由以及面積的關(guān)系可求橢圓的方程.
（2）由于直線與橢圓的相交得到的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)，可通過(guò)假設(shè)直線方程與橢圓的方程聯(lián)立可求得，判別式要大于零.其中用直線的斜率表示中點(diǎn)坐標(biāo).由于中點(diǎn)在正方形內(nèi)，其實(shí)就是要符合一個(gè)不等式的可行域問(wèn)題.因此通過(guò)解不等式即可得到所求的結(jié)論.
試題解析：(1)求得橢圓C的方程為;;
(2)∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-4,0),顯然直線L的斜率k存在,
∴直線L方程為 如圖設(shè)點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為,
線段MN的中點(diǎn)為,由
由△>0解得:      又
, ∵, ∴點(diǎn)G不可能在y軸的右邊,
又直線F₁B₂, F₁B₁的方程分別為.
∴點(diǎn)G在正方形B₁F₂B₁F₁內(nèi)的充要條件為:    即
即.
考點(diǎn)：1.橢圓的性質(zhì).2.直線與橢圓的位置關(guān)系.3.線性規(guī)劃的知識(shí).4.韋達(dá)定理.