Question

（本小題滿分12分）
設(shè)數(shù)列的前項和為，且；數(shù)列為等差數(shù)列，且
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若為數(shù)列的前項和，求證：

Answer 1

（1）；（2）

本試題主要是考查了數(shù)列的通項公式的求解，和求和的綜合運用。
（1）因為數(shù)列的前項和為，且；數(shù)列為等差數(shù)列，且
則根據(jù)已知找到前n項和與通項公式的關(guān)系，得到數(shù)列的通項公式；以及的通項公式。
（2）因為為數(shù)列的前項和，數(shù)列為等差數(shù)列，公差
可得從而,然后利用錯位相減法得到和式，并放縮證明不等式。
解：（1）由，令則，又，
所以，則.
當時，由，可得，
即，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
于是………………………………………………………………5分
（2）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，公差
可得從而,

……………………10分

從而………………………………………………12分